Butelka Kleina

Butelka Kleina jest zdefiniowaną powierzchnią nieorientowaną (czyli dwuwymiarową rozmaitością). Butelka Kleina została po raz pierwszy opisana w 1882 r. Przez niemieckiego matematyka F. Kleina. Jest ściśle związany z pasmem Mobiusa i płaszczyzną rzutowania. Nazwa pochodzi najprawdopodobniej z błędnego tłumaczenia niemieckiego słowa Fläche (powierzchnia), które w języku niemieckim jest bliskie pisowni do słowa Flasche (butelka); potem ta nazwa wróciła do niemieckiego.
Aby zbudować model butelki Kleina, musisz wziąć butelkę z dwoma otworami: na dole i w ścianie, wyciągnąć szyjkę, zgiąć ją i przewlec przez otwór w ścianie butelki (dla prawdziwej butelki Kleina w czterowymiarowej przestrzeni, ta dziura nie jest konieczna, ale bez nie może zrobić w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej), przymocować do otworu na dole butelki.

W przeciwieństwie do zwykłego szkła, obiekt ten nie ma „krawędzi”, gdzie powierzchnia kończy się nagle. W przeciwieństwie do balonu, butelka Kleina może być przekazywana z wnętrza na zewnątrz bez przekraczania powierzchni (w rzeczywistości przedmiot ten nie ma „wewnątrz” ani „na zewnątrz”).
Formalnie butelkę Kleina można uzyskać przez przyklejenie kwadratu, identyfikując punkty (0, y) ~ (1, y) za pomocą i (x, 0) ~ (1-x, 1).